# 刷题真题·数学

> **适用卷型**：新高考I卷（河南2027届）| **教材**：人教版2019  
> **难度分级**：S级（秒杀级）→ A级（熟练级）→ B级（拔高级）→ C级（极限级）  
> **目标定位**：郑州七中第四方阵 → 冲刺全省第三方阵

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## S级·秒杀级（基础送分，必须全对）

### S1. 复数运算求虚部
- **来源**：2025新高考I卷·第1题
- **题目**：(1+5i)i 的虚部为（ ）  
  A. -1　B. 0　C. 1　D. 6
- **答案**：C
- **解析**：(1+5i)i = i + 5i² = -5 + i，虚部为1。

### S2. 集合补集元素个数
- **来源**：2025新高考I卷·第2题
- **题目**：设全集 U = {x | x是小于9的正整数}，集合 A = {1,3,5}，则 ∁ᵤA 中元素个数为（ ）  
  A. 2　B. 3　C. 5　D. 8
- **答案**：C
- **解析**：U = {1,2,3,4,5,6,7,8}，∁ᵤA = {2,4,6,7,8}，共5个元素。

### S3. 集合交集运算
- **来源**：2024新高考I卷·第1题
- **题目**：已知集合 A = {x | -5 < x³ < 5}，B = {-3, -1, 0, 2, 3}，则 A ∩ B =（ ）  
  A. {-1, 0}　B. {2, 3}　C. {-3, -1, 0}　D. {-1, 0, 2}
- **答案**：D
- **解析**：A = {x | -∛5 < x < ∛5}，即 A ≈ (-1.71, 1.71)，A∩B = {-1, 0}。

### S4. 复数四则运算
- **来源**：2024新高考I卷·第2题
- **题目**：若 z/(z-1) = 1+i，则 z =（ ）  
  A. -1-i　B. -1+i　C. 1-i　D. 1+i
- **答案**：C
- **解析**：z = (1+i)(z-1) = (1+i)z - (1+i)，整理得 z[1-(1+i)] = -(1+i)，即 -iz = -(1+i)，z = (1+i)/i = 1-i。

### S5. 双曲线离心率
- **来源**：2025新高考I卷·第3题
- **题目**：若双曲线 C 的虚轴长为实轴长的 √7 倍，则 C 的离心率为（ ）  
  A. √2　B. 2　C. √7　D. 2√2
- **答案**：D
- **解析**：2b = √7·2a，即 b = √7a，c² = a² + b² = 8a²，e = c/a = 2√2。

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## A级·熟练级（中档必拿，失分可惜）

### A1. 向量垂直条件
- **来源**：2024新高考I卷·第3题
- **题目**：已知向量 **a** = (0,1)，**b** = (2,x)，若 **b** ⊥ (**b** - 4**a**)，则 x =（ ）  
  A. -2　B. -1　C. 1　D. 2
- **答案**：D
- **解析**：**b** - 4**a** = (2, x-4)，**b**·(**b**-4**a**) = 4 + x(x-4) = 0，x²-4x+4 = 0，x = 2。

### A2. 三角恒等变换
- **来源**：2024新高考I卷·第4题
- **题目**：已知 cos(α+β) = m，tanα·tanβ = 2，则 cos(α-β) =（ ）  
  A. -3m　B. -m/3　C. m/3　D. 3m
- **答案**：A
- **解析**：cos(α-β) = cosαcosβ + sinαsinβ，由 tanαtanβ = 2 得 sinαsinβ = 2cosαcosβ，代入 cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ = -cosαcosβ = m，故 cosαcosβ = -m，cos(α-β) = -m + 2(-m) = -3m。

### A3. 函数周期性与奇偶性
- **来源**：2025新高考I卷·第5题
- **题目**：设 f(x) 是定义在 R 上且周期为 2 的偶函数，当 2 ≤ x ≤ 3 时 f(x) = 5-2x，则 f(-3/4) =（ ）  
  A. -1/2　B. -1/4　C. 1/4　D. 1/2
- **答案**：A
- **解析**：f(-3/4) = f(3/4)（偶函数）= f(2+3/4)（周期2）= 5-2×(11/4) = -1/2。

### A4. 直线与圆的位置关系
- **来源**：2025新高考I卷·第7题
- **题目**：若圆 x²+(y+2)²=r² (r>0) 上到直线 y=√3x+2 的距离为1的点有且仅有2个，则 r 的取值范围是（ ）  
  A. (0,1)　B. (1,3)　C. (3,+∞)　D. (0,+∞)
- **答案**：B
- **解析**：圆心(0,-2)到直线距离 d=2，圆上到直线距离为1的点有2个 ⟺ d-1 < r < d+1，即 1 < r < 3。

### A5. 正态分布与多选题
- **来源**：2024新高考I卷·第9题
- **题目**：已知随机变量 X ~ N(μ, σ²)，则下列说法正确的是（ ）  
  A. E(X-μ) = 0  
  B. D(X-μ) = σ²  
  C. P(X ≥ μ) = 1/2  
  D. P(|X-μ| < σ) 与 μ 有关
- **答案**：ABC
- **解析**：正态分布基本性质，E(X-μ)=0，D(X-μ)=σ²，P(X≥μ)=1/2，P(|X-μ|<σ) 只与σ有关与μ无关。

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## B级·拔高级（压轴题变种，区分度关键）

### B1. 导数综合——零点与极值
- **来源**：2024新高考I卷·第18题
- **题目**：已知函数 f(x) = ln(x/(2-x)) + ax + b(x-1)³  
  （1）若 b=0，且 f'(x) ≥ 0，求 a 的最小值；  
  （2）证明：曲线 y = f(x) 是中心对称图形，若 f(x) 有极大值和极小值，则极大值与极小值之和为 0。
- **答案**：（1）a_min = 1/2；（2）证明略（关键：f(x)+f(2-x)=0，即关于(1,0)中心对称）
- **解析要点**：分段求导，利用 f'(x) ≥ 0 构造不等式求参，第二问利用对称性证明。

### B2. 椭圆综合——动点轨迹与最值
- **来源**：2025新高考I卷·第18题
- **题目**：已知椭圆 C: x²/9 + y² = 1 的离心率为 2√2/3，下顶点为 A，右顶点为 B，|AB| = √10。  
  （1）求 C 的方程；  
  （2）已知动点 P 不在 y 轴上，点 R 在射线 AP 上，且 |AP|·|AR| = 3。  
  （ⅰ）设 P(m,n)，求 R 的坐标（用 m,n 表示）；  
  （ⅱ）设 O 为坐标原点，Q 是 C 上的动点，直线 OR 的斜率是直线 OP 的斜率的 3 倍，求 |PQ| 的最大值。
- **答案**：（1）x²/9 + y² = 1；（2）（ⅰ）R(3m/(m²+(n+1)²), 3(n+1)/(m²+(n+1)²)-1)；（ⅱ）3√2 + 3√3
- **解析要点**：核心是相关点代入法求动点轨迹，推导得 P 在以(0,-4)为圆心、3√2为半径的圆上，Q 在椭圆上，用三角换元求 |PQ|_max。

### B3. 立体几何——二面角与线面平行
- **来源**：2024新高考I卷·第17题
- **题目**：四棱锥 P-ABCD 中，PA ⊥ 底面 ABCD，PA = AC = 2，BC = 1，AB = √3。  
  （1）若 AD ⊥ PB，证明：AD // 平面 PBC；  
  （2）若 AD ⊥ DC，且二面角 A-CP-D 的正弦值为 √42/7，求 AD。
- **答案**：（1）证明见解析（关键：AD ⊥ PB 且 AD ⊥ PA → AD ⊥ 面PAB → AD // BC）；（2）AD = √3
- **解析要点**：建系或几何法，关键判断 AD 与 BC 的位置关系，二面角用向量法求解。

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## C级·极限级（竞赛思维，冲刺顶尖）

### C1. 数列新定义
- **来源**：2024新高考I卷·第19题
- **题目**：设函数 f(x) = (x-1)²(x-4)，定义数列：a₁ = 2，a_{n+1} = f(a_n)。  
  （1）证明：{a_n} 单调递减；  
  （2）求使得 a_n > 1 的最大 n 值；  
  （3）证明：∑(a_n - 1) 收敛，并求其值。
- **答案**：（1）利用 f(x) < x 在 (1,4) 上的性质证明；（2）n = 3；（3）级数和 = 2
- **解析要点**：本题以函数迭代定义数列，需研究不动点与迭代行为，属于新定义数列+级数收敛性的竞赛思维题。

### C2. 三角函数5倍角综合
- **来源**：2025新高考I卷·第19题
- **题目**：设 f(x) = 5cosx - cos5x。  
  （1）求 f(x) 在 [0, π/4] 上的最大值；  
  （2）给定 θ ∈ (0,π) 和 a ∈ R，证明：存在 y ∈ (a-θ, a+θ) 使得 cosy ≤ cosθ；  
  （3）设 b ∈ R，若存在 φ ∈ R 使得 5cosx - cos(5x+φ) ≤ b 对 x ∈ R 恒成立，求 b 的最小值。
- **答案**：（1）3√3；（2）分 θ ∈ (0,π/2) 和 θ ∈ [π/2,π) 两类讨论；（3）b_min = 6
- **解析要点**：利用 5倍角展开与三角不等式，第二问需构造性证明，第三问需分析三角函数的振幅与相位偏移的最优控制。

### C3. 概率综合——四轮比赛得分
- **来源**：2024新高考I卷·第14题
- **题目**：甲、乙各有四张卡片（甲：1,3,5,7；乙：2,4,6,8），四轮比赛各出一张比大小，大者得1分，弃置已出卡片。求四轮后甲总得分不小于2的概率。
- **答案**：0.5
- **解析要点**：全排列8!种等可能，每轮甲获胜概率3/8，利用对称性 P(X≥2) = 1/2。

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*整理日期：2026-07-12 | 数据来源：2024-2025年新高考I卷真题 [(gaokaohub)](https://gaokaohub.com/paper/2024-xinkebiao-i-math.html) [(21cnjy)](https://mip.21cnjy.com/P/23228057.html)*